Учительница задала, сказала если не сделаю поставит 2, а я сейчас болею (Решите, что сможете) 1. Доведіть, що сума двох послідовних парних чисел не ділиться націло на 4. 2. Доведіть, що сума квадратів двох послідовних парних чисел при діленні на 16 дає в остачі 4. 3. Доведіть, що квадрати натуральних чисел при діленні на 5 дають лише остачі 0, 1, 4, при діленні на 7 лише остачі 0,1,2,4, при діленні на 9 лише остачі 0, 1, 4,7. 4. Доведіть, що куби натуральних чисел при діленні на 7 можуть давати лише остачі 0,1,6, а при діленні на 9 лише остачі 0,1,8. 5. Доведіть, що при жодному натуральному n числа вигляду 7n+6, 9n+3, 5n-2 не можуть бути точними квадратами. 6. Знайдіть остачу від ділення числа 201 в степені 2001 на 17. 7. Знайдіть останню цифру в десятковому записі числа 2 в степені 2001. 8. Доведіть, що число 177 в степені 99+643 в степені 44+1994 в степені 88 ділиться націло на 10. 9. Доведіть, що число 2222 в степені 5555+5555 в степені 2222 ділиться націло на 7. 10. Знайдіть дві останні цифри у десятковому записі числа 9 в степені 9. 11. Доведіть, що числа 6 в степені n-5 в степенні n є точним квадратом натурального числа лише при n=1. 12. Доведіть, що при довільному натуральному n число n в кубі+2n ділиться на 3. 13. Знайдіть усі такі прості числа p, для яких числа p+10 та p+14 теж прості. Куся)
1.Нехай перше парне число буде 2к тоді послідовне за ним парне число буде 2к+2. Їх сума буде 2к+2к+2=4к+2, а вона при діленні на 4 дає остачу 2 і значить не ділиться на 4 Did
2. Провіряємо що 2^2+4^2 =20 при діленні на 16 дає в остачі 4. Решту пар послідовних парних чисел можна записати у вигляді 4к і 4к+2. Тоді (4k)^2+(4k+2)^2=16k^2+16k^2+16k+4 (використали формулу квадрата суми) При діленні виразу на 16 остача буде 4 Для подальшого повідомте в якому класі Ви навчаєтесь, щоб задачі розв'язувалися відповідними до класу методами, а то вчителька не тільки Вам 2 поставить. Не хворійте. Зможемо за канікули все розв'язати Did
13.При р=3 числа будуть: 3,13, 17 всі простими. Інші прості числа р можуть мати вигляд 3к+1 або 3к+2. Якщо просте р=3к+1, то р+14=3к+1+14=3к+15 ділиться на3 , а значить буде складеним. Якщо ж просте р=3к+2, то р+10=3к+2+10=3к +12 ділиться на 3 - значить воно буде складеним. Тому задачу задовольняє тільки число 3 Did
3. При діленні на 5 остачі можуть бути:0, 1, 2, 3, 4, Тому при діленні квадратів чисел на 5 остачі від ділення будуть такі , як від ділення на 5 квадратів їх остач, тобто оостачі від чисел 0, 1, 4, 9, 16. Ці остачі будуть відповідно - 0, 1, 4, 4, 1. Отже остачами можуть бути числа 0, 1, 4. При діленні на 7 остачі можуть бути:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Тому при діленні квадратів чисел на 7 остачі від ділення будуть такі , як від ділення на 7 квадратів їх остач, тобто оостачі від чисел 0, 1, 4, 9, 16. 25, 36 Ці остачі будуть відповідно - 0, 1, 4, 2, 2. 4, 1 Отже остачами можуть бути числа 0, 1, 2 4. При діленні на 9 остачі можуть бути:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Тому при діленні квадратів чисел на 9 остачі від ділення будуть такі , як від ділення на 9 квадратів їх остач, тобто остачі від чисел 0, 1, 4, 9, 16. 25, 36, 49, 64 Ці остачі будуть відповідно - 0, 1, 4, 0, 7. 7, 0, 4, 1 Отже остачами можуть бути числа 0, 1, 4. 7 Можливий інший метод. Наприклад для 5. Подати числа у вигляді 5к, 5к+1, 5к+2, 5к+3 , 5к+4. Підносити вирази, по формулі, до квадрата , ділити отримані вирази на 5 і отримувати остачі. Аналогічно для 7 і 9. Спробуйте. Можливо вчительці такий метод більше сподобається Did
4.При діленні на 7 остачі можуть бути:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Тому при діленні кубів чисел на 7 остачі від ділення будуть такі , як від ділення на 7 кубів їх остач, тобто остачі від чисел 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216. Ці остачі будуть відповідно - 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6 Отже остачами можуть бути числа 0, 1, 6. При діленні на 9 остачі можуть бути:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Тому при діленні кубів чисел на 9 остачі від ділення будуть такі , як від ділення на 9 кубів їх остач, тобто остачі від чисел 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216. 343, 512 Ці остачі будуть відповідно - 0, 1, 8, 0, 1, 8, 0, 1, 8. Отже остачами можуть бути числа 0, 1, .8. Можна подати числа для 7 у вигляді 7к-3, 7к-2, 7к-1, 7к, 7к+2, 7к+3 Підносити вирази до кубу , результат ділити на 7 і одержувати остачу. Але ,на мою думку, це довго і нецікаво. Можна було використати результат попередньої задачі про квадрати. Це вже цікавіше. Did
5 . Використаємо результати задачі 2.При діленні на 7 числа виду 7n+6,остача буде 6, але повні квадрати при діленні на 7 можуть давати ,згідно задачі 2, остачу 0, 1, 2, 4., ТОМУ ЧИСЛО ДАНОГО ВИДУ НЕ МОЖЕ БУТИ ПОВНИМ КВАДРАТОМ. При діленні на 9 числа виду 9n+3,остача буде 3, але повні квадрати при діленні на 9 можуть давати ,згідно задачі 2, остачу 0, 1, 4, 7. ТОМУ ЧИСЛО ДАНОГО ВИДУ НЕ МОЖЕ БУТИ ПОВНИМ КВАДРАТОМ. Щоб знайти остачу від ділення на 5 числа виду 5п-2 виконаємо заміну п=к+1, тоді 5п-2=5(к+1)-2=5к+3. При діленні на 5 числа виду 5к+3,остача буде 3, але повні квадрати при діленні на 5 можуть давати ,згідно задачі 2, остачу 0, 1, 4. ТОМУ ЧИСЛО ДАНОГО ВИДУ НЕ МОЖЕ БУТИ ПОВНИМ КВАДРАТОМ Did
7. 2 ^2001=2^2000*2=(2^4)^500*2=16^500*2. Так як16 у будь-якому степені закінчується на 6 (6 на 6 завжди 36 ) , то і 16 у 500 степені закінчується на 6, а 6 помножити на2 буде 12, тому остання цифра 2 Did
10. Щоб визначити дві останні цифри знайдемо остачу від ділення 9^9 на 100. 9^9=(9^3)^3=729^3. 729 при діленні на 100 дає остачу 29, тому остача від ділення 9^9 на 100 буде така ж, як і при діленні на 100 числа 29^3. 29^3=(29^2)*29=841*29. Остача від ділення цього числа на 100 буде 89 . Отже число закінчується на 89. Можна просто було піднести 9 до дев'ятого степеня калькулятором чи у СТОВПЧИК. ЗАДАЧА НЕ ВДАЛА . але метод варто знати, бо можуть бути значно більші числа і калькулятор і СТОВПЧИК не допомоЖУТЬ. Did
12. Будь яке натуральне число можна записати у вигляді 3к-1, 3к, або 3к+1. Якщо число буде мати вигляд 3к-1, то n^3+2n=(3k-1)^3+2(3k-1)=27k^3-27k^2+9k-1+6k-2=27k^3-27k^2+15k-3 ділиться на3. Якщо число буде мати вигляд 3к, то n^3+2n=27k^3+6k і також ділиться на 3. Якщо число буде мати вигляд 3к+1, то n^3+2n=(3k+1)^3+2(3k+1)=27k^3+9k^2+9k+1+6k+2=27k^3+9k^2+15k+3 -ділиться на 3. Отже вираз ділиться на 3 при будь якому натуральному N. Did