Після хвороби на заняттях, позадавали безліч незрозумілих завдань, та й ще на короткий проміжок часу. Допоможіть з чим зможете будь-ласка) 1.Доведіть, що числа а) n і n+1; б) 14n+3 і 21n+4 - взаємно прості при будь-якому натуральному n. 2. Доведіть що дріб, в чисельнику 3n+4 в знаменнику 4n+5 нескоротний при жодному натуральному n. 3. Знайдіть за алгоритмом Евкліда найбільший спільний дільник чисел 1994 і 1068. 4. Знайдіть найменше спільне кратне чисел 328 і 448. 5. Знайдіть звичайні дроби, що дорівнюють сумі і різниці дробів в чисельнику 46740 в знаменнику 72611 і в чисельнику 4452 в знаменнику 67045. 6. Скільки відсотків складає НСД (24, 148) від НСК (24, 148)? 7. Знайдіть усі натуральні числа a, b, сума яких дорівнює 168б а НСД (a,b)=24. 8. Розв*яжіть у цілих числах рівняння: x^2-y^2=2002 9. Розв*яжіть у цілих числах рівняння: x^3+y^3=91/ 10. Доведіть відсутність розв*язків у таких діофантових рівнянь на множині натуральних чисел: 3x^2-4y^2=13 11. Доведіть відсутність розв*язків у таких діофантових рівнянь на множині натуральних чисел: x^3-x=3y^2+1 12. Доведіть відсутність розв*язків у таких діофантових рівнянь на множині натуральних чисел: x^3+y^3=9z+4 13. Методом нескінченного спуску знайдіть цілі розв*язки рівняння: x^2+y^2=3z^2.
10. При діленні квадрата цілого числа на 4 остачею можуть бути : 0 або 1. Значить при діленні на 4 виразу 3x^2 остача буде 0 або 3, а при діленні на 4 виразу 4y^2 остача буде 0. Таким чином при діленні на 4 ліва частина рівняння дасть остачу 3 або 0, а права частина рівняння при діленні на 4 дає остачу 1. Тому рівняння немає цілих розв'язків. 11. Запишемо рівняння у вигляді х(х-1)(х+1)=3y^2+1. Ліва частина рівняння, як добуток трьох послідовних цілих чисел, ділиться на 3, а права при діленні на 3 дає остачу 1. Тому рівняння немає цілих розвязків. 12. Остача відділення куба цілого числа на 9 може дорівнювати 0,1 або 8. Тому остача від ділення на 9 лівої частини може бути 0, 1, 2, 7, 8. а остача від ділення правої частини на 9 рівна 4.Тому рівняння немає цілих розвязків. 13 (0;0;0) розв'язок рівняння.Припустимо, що існує інший розвязок (x;y;z). При діленні квадрата цілого числа на 3 остачею можуть бути : 0 або 1.Так як права частина ділиться на 3 , то і вирази у лівій частині будуть ділитися на 3. Нехай x=3m , y=3n тоді рівняння буде мати вигляд (3m)^2+(3n)^2=3z^2 або 3 m^2+3n^2=z. Значить z=3k. Цей процес можна продовжувати. Будемо отримувати спадну послідовність цілих чисел . Причому числа x/3^s, y/3^s, z/3^s при будь якому значенні s. А це неможливо Did
8. Запишемо рівняння у вигляді (х-у)(х+у)=2*1001. Якщо х і у обидва парні або непарні числа, то х+у і х-у будуть парним числамиі значить їх добуток буде ділитися на 4, але права частина рівняння ділиться лише на 2. Отже рівність в такому випадку неможлива. Якщо одне з чисел буде парним , а інше непарним, то числа х+у і х-у будуть непарним і значить їх добуток буде непарним. Так як права частина рівняння парне число , то і в цьому випадку рівність неможлива. Значить рівняння не має розв'язку. 9.
6.НСД(24;148)=НСД(4*6;4*37)=4 НСК(24;148)=4*37*6, тому НСД складає від НСК 100%:(4*37*6)*4=50/111%5. Розкладіть чисельники і знаменники дробів на прості множники. 4. Загляньте у підручник 6 класу 3. застосовуйте алгоритм дідуся Евкліда і остання нерівна нулю остача буде відповіддю. 2. Припустимо ,що дріб можна скоротити на деяке число d відмінне від 1, тоді 3n+4=kd а 4n+5=md помножимо першу рівність на 4 і віднімемо від неї другу помножену на 3. Отримаємо 1=d(4k-3m). Ця рівність можлива тільки при d=1. Отримали протиріччя . Припущення невірне . Отже дріб нескоротний. 1. Застосуйте такий самий прийом , як у задачі 2. 7. У цій задачі незрозуміло , що означає запис після слів "сума яких дорівнює" Did
Добрий день! Хто знає як довести, або підкаже як довести приклад Робили різними способами. Домножували, ділили навіть пробували через гіпертригонометричні ряди і не виходить.Можливо хтось знає інший метод. Дякую
3. застосовуйте алгоритм дідуся Евкліда і остання нерівна нулю остача 
